關于這個筆記

也許你已經學會了一門計算機語言，也許你會寫一段不錯的程序。

也許你在嘈雜的環境用不費力的就可以用熟悉的IDE完成一個項目。

不過，你還在用+ - * /和%做所有的計算么？

這個筆記就是為了寫出更加正確的程序，小小的一個學習過程。

我不總結復雜的道理，只記錄用得上的方案。

出現的一切代碼都使用Java語言。

正確的計算過程導致錯誤的計算結果

關于基本數值計算中的一些陷阱

浮點數和實數

當早期的Fortran和algol創造出real這個關鍵字時，你還真以為那么是實數，不過說真的，你被騙了。

所以到了C，我們擁有了float。

那么他們到底有什么不同呢？

簡單地說

System.out.println(”Value of 1/3: ” + (1/3f))

將輸出

Value of 1/3: 0.33333334

很簡單，這是很早之前您就知道的四舍五入。當時我們只是那無法寫完的循環在紙上劃下一個”≈”，然后非常開心可以少寫幾個字符。如果你有一個負責任的數學老師，他（她）就會反復的叮嚀你，要小心，計算時候要保留結果精度往后一位的數值。

當這一切輪到了計算機，我們叫它：

舍入誤差

舍入誤差有時相當驚人。對1/3連加840次，你會得到279.9915（本應當為280），如何驚人，我們會在下面看到。

不過有意思的事情，和小時候的情形不一樣，舍入誤差并不是由于不能除盡或者是無理數造成的，類似于1/5的數字連加之后也有誤差。這是因為絕大多數 計算機是基于2進制體系的，所以IBM有用于商業計算的10進制計算機。簡單的事實是利用float表達的2的冪次，在精度范圍是沒有舍入誤差的。

給出常用定義：

作如下計算，你會期待怎樣的結果呢？

別偷懶，用你久遠的口算能力，很容易就可以得出，它本來應該是0。而事實上，我們偉大的計算機的答案是3222784.0

為什么？

因為，10000001/20000000的時候，答案本應該是0.50000005，由于舍入誤差，我們得到了0.5000006。

接下來我們減去0.5的時候，得到的應當是0.00000006，這樣，我們就丟失了所有的正確的數。

更糟糕的是，計算機中實際得到的值是5.9604645e-8。

因此，您的存款戶頭上可能會平白無故減少3222784元。只因為銀行決定向你支付利息之后，調整了匯率。

呃，這一次，我們叫它：

相消誤差——兩個非常相近的值相減時，如果消去了絕大多數有效數值，那么就會發生相消誤差。
舍入誤差——是精確值和其可表達值之間的差值。

如果還有什么要說的，那就是：

Double比float 更接近實數，貌似不需要我說。
浮點運算不遵守代數定理

比如：a = 1.0, b = 3.0e-8, c = 4.0e-8

那么：    (a+b)+c = 1.0

    a+(b+c) = 1.0000001

不過加法和乘法還是滿足交換律的。

下一次：輪到了整數。