1。自然數(shù)是0，1，2……
2。素?cái)?shù)是2，3，5……（不包括1的只能背1和它本身整除的自然數(shù)）

import java.util.Scanner;

public class Prime {

    //最基本的做法

    private int prime1(int num) {
        int i = 0, s = 0;
        label1: for (int n = 2; n <= num; n++) {
            for (int m = 2; m * m <= n; m++) {
                if (n % m == 0)
                    continue label1;
            }
            s++;
            i++;
            //System.out.println("第" + i + "個(gè)素?cái)?shù)是：" + n);
        }
        return s;
    }

    //6N±1法

    private int prime2(int num){
        int i = 0, s = 0;
        for(int n = 2; n <=3; n ++){
            s++;
            i++;
            //System.out.println("第" + i + "個(gè)素?cái)?shù)是：" + n);
        }
        label1: for(int n = 1; ; n++) {
            label2: for (int m = 0; m <= 1; m++) {
                int tmp = 2 * (3 * n + m) - 1;
                if (tmp > num)
                    break label1;
                for(int k = 2; k * k <= tmp; k++)
                    if (tmp % k == 0)
                        if (m == 0)
                            continue label2;
                        else
                            continue label1;
                s++;
                i++;
                //System.out.println("第" + i + "個(gè)素?cái)?shù)是：" + tmp);
            }
        }
        return s;
    }

    public static void main(String args[]) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int num = in.nextInt();
        long start = System.currentTimeMillis();
        int sum = new Prime().prime1(num);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("方法一共" + sum + "個(gè)素?cái)?shù)");
        System.out.println("用時(shí)：" + (end - start));
        start = System.currentTimeMillis();
        sum = new Prime().prime2(num);
        end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("方法二共" + sum + "個(gè)素?cái)?shù)");
        System.out.println("用時(shí)：" + (end - start));
       
    }
}

輸入：1000000

運(yùn)行結(jié)果：

方法一共78498個(gè)素?cái)?shù)
用時(shí)：3434
方法二共78498個(gè)素?cái)?shù)
用時(shí)：3453

（看來(lái)基本方法比6N±1法還要更快些，奇怪了，我的程序?qū)懙臎](méi)什么問(wèn)題阿）

【1】求10000以內(nèi)的所有素?cái)?shù)。
素?cái)?shù)是除了1和它本身之外再不能被其他數(shù)整除的自然數(shù)。由于找不到一個(gè)通項(xiàng)公式來(lái)表示所有的素?cái)?shù)，所以對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，素?cái)?shù)一直是一個(gè)未解之謎。像著名的 哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想，幾百年來(lái)不知吸引了世界上多少優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。盡管他們苦心鉆研，嘔心瀝血，但至今仍然未見(jiàn)分曉。
自從有了計(jì)算機(jī)之后，人們借助于計(jì)算機(jī)的威力，已經(jīng)找到了2²¹⁶⁰⁹¹以內(nèi)的所有素?cái)?shù)。
求素?cái)?shù)的方法有很多種，最簡(jiǎn)單的方法是根據(jù)素?cái)?shù)的定義來(lái)求。對(duì)于一個(gè)自然數(shù)N，用大于1小于N的各個(gè)自然數(shù)都去除一下N，如果都除不盡，則N為素?cái)?shù)，否則N為合數(shù)。
但是，如果用素?cái)?shù)定義的方法來(lái)編制計(jì)算機(jī)程序，它的效率一定是非常低的，其中有許多地方都值得改進(jìn)。
第一，對(duì)于一個(gè)自然數(shù)N，只要能被一個(gè)非1非自身的數(shù)整除，它就肯定不是素?cái)?shù)，所以不
必再用其他的數(shù)去除。
第二，對(duì)于N來(lái)說(shuō)，只需用小于N的素?cái)?shù)去除就可以了。例如，如果N能被15整除，實(shí)際
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那么N也決不會(huì)被15整除。
第三，對(duì)于N來(lái)說(shuō)，不必用從2到N一1的所有素?cái)?shù)去除，只需用小于等于√N(根號(hào)N)的所有素?cái)?shù)去除就可以了。這一點(diǎn)可以用反證法來(lái)證明：
如果N是合數(shù)，則一定存在大于1小于N的整數(shù)d1和d2，使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大于√N，則有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。
而這是不可能的，所以，d1和d2中必有一個(gè)小于或等于√N。
基于上述分析，設(shè)計(jì)算法如下：
(1)用2，3，5，7逐個(gè)試除N的方法求出100以內(nèi)的所有素?cái)?shù)。
(2)用100以內(nèi)的所有素?cái)?shù)逐個(gè)試除的方法求出10000以內(nèi)的素?cái)?shù)。
首先，將2，3，5，7分別存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中，以后每求出一個(gè)素?cái)?shù)，只要不大于100，就依次存放在A數(shù)組中的一個(gè)單元 中。當(dāng)我們求100—10000之間的素?cái)?shù)時(shí)，可依次用a[1]－a[2]的素?cái)?shù)去試除N，這個(gè)范圍內(nèi)的素?cái)?shù)可以不保存，直接打印。

【2】用篩法求素?cái)?shù)。
簡(jiǎn)單介紹一下厄拉多塞篩法。厄拉多塞是一位古希臘數(shù)學(xué)家，他在尋找素?cái)?shù)時(shí)，采用了一種與眾不同的方法：先將2－N的各數(shù)寫(xiě)在紙上：

在2的上面畫(huà)一個(gè)圓圈，然后劃去2的其他倍數(shù)；第一個(gè)既未畫(huà)圈又沒(méi)有被劃去的數(shù)是3，將它畫(huà)圈，再劃去3的其他倍數(shù)；現(xiàn)在既未畫(huà)圈又沒(méi)有被劃去的第一個(gè)數(shù) 是5，將它畫(huà)圈，并劃去5的其他倍數(shù)……依次類推，一直到所有小于或等于N的各數(shù)都畫(huà)了圈或劃去為止。這時(shí)，表中畫(huà)了圈的以及未劃去的那些數(shù)正好就是小于 N的素?cái)?shù)。

這很像一面篩子，把滿足條件的數(shù)留下來(lái)，把不滿足條件的數(shù)篩掉。由于這種方法是厄拉多塞首先發(fā)明的，所以，后人就把這種方法稱作厄拉多塞篩法。
在計(jì)算機(jī)中，篩法可以用給數(shù)組單元置零的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體來(lái)說(shuō)就是：首先開(kāi)一個(gè)數(shù)組：a[i]，i=1，2，3，…，同時(shí)，令所有的數(shù)組元素都等于下標(biāo) 值，即a[i]=i，當(dāng)i不是素?cái)?shù)時(shí)，令a[i]=0 。當(dāng)輸出結(jié)果時(shí)，只要判斷a[i]是否等于零即可，如果a[i]=0，則令i=i+1，檢查下一個(gè)a[i]。
篩法是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中常用的算法之一。

【3】用6N±1法求素?cái)?shù)。
任何一個(gè)自然數(shù)，總可以表示成為如下的形式之一：
6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
顯然，當(dāng)N≥1時(shí)，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素?cái)?shù)，只有形如6N+1和6N+5的自然數(shù)有可能是素?cái)?shù)。所以，除了2和3之外，所有的素?cái)?shù)都可以表示成6N±1的形式(N為自然數(shù))。
根據(jù)上述分析，我們可以構(gòu)造另一面篩子，只對(duì)形如6 N±1的自然數(shù)進(jìn)行篩選，這樣就可以大大減少篩選的次數(shù)，從而進(jìn)一步提高程序的運(yùn)行效率和速度。

在程序上，我們可以用一個(gè)二重循環(huán)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，外循環(huán)i按3的倍數(shù)遞增，內(nèi)循環(huán)j為0－1的循環(huán)，則2(i+j)-1恰好就是形如6N±1的自然數(shù)。