一，兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)：

1、歐幾里德算法

歐幾里德算法又稱(chēng)輾轉(zhuǎn)相除法，用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。其計(jì)算原理依賴(lài)于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設(shè)d是a,b的一個(gè)公約數(shù)，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數(shù)

假設(shè)d 是(b,a mod b)的公約數(shù)，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數(shù)

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數(shù)是一樣的，其最大公約數(shù)也必然相等，得證

歐幾里德算法就是根據(jù)這個(gè)原理來(lái)做的，其算法用C++語(yǔ)言描述為：

void swap(int & a, int & b){
     int c = a;
       a = b;
       b = c;
}

int gcd(int a,int b){
     if(0 == a ){
         return b;
     }
     if( 0 == b){
         return a;
     }
     if(a > b){
         swap(a,b);
     }
     int c;
     for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b){
           a = b;
           b = c;
     }
     return b;
}

2、Stein算法
歐幾里德算法是計(jì)算兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的傳統(tǒng)算法，它無(wú)論從理論還是從效率上都是很好的。但是有一個(gè)致命的缺陷，這個(gè)缺陷只有在大素?cái)?shù)時(shí)才會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)。

考慮現(xiàn)在的硬件平臺(tái)，一般整數(shù)最多也就是64位，對(duì)于這樣的整數(shù)，計(jì)算兩個(gè)數(shù)之間的模是很簡(jiǎn)單的。對(duì)于字長(zhǎng)為32位的平臺(tái)，計(jì)算兩個(gè)不超過(guò)32位的整數(shù)的 模，只需要一個(gè)指令周期，而計(jì)算64位以下的整數(shù)模，也不過(guò)幾個(gè)周期而已。但是對(duì)于更大的素?cái)?shù)，這樣的計(jì)算過(guò)程就不得不由用戶(hù)來(lái)設(shè)計(jì)，為了計(jì)算兩個(gè)超過(guò) 64位的整數(shù)的模，用戶(hù)也許不得不采用類(lèi)似于多位數(shù)除法手算過(guò)程中的試商法，這個(gè)過(guò)程不但復(fù)雜，而且消耗了很多CPU時(shí)間。對(duì)于現(xiàn)代密碼算法，要求計(jì)算 128位以上的素?cái)?shù)的情況比比皆是，設(shè)計(jì)這樣的程序迫切希望能夠拋棄除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出，這個(gè)方法也是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。和歐幾里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整數(shù)的移位和加減法，這對(duì)于程序設(shè)計(jì)者是一個(gè)福音。

為了說(shuō)明Stein算法的正確性，首先必須注意到以下結(jié)論：

gcd(a,a) = a，也就是一個(gè)數(shù)和它自身的公約數(shù)是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公約數(shù)運(yùn)算和倍乘運(yùn)算可以交換，特殊的，當(dāng)k=2時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)偶數(shù)的最大公約數(shù)必然能被2整除

C++/java 實(shí)現(xiàn)

// c++/java stein 算法
int gcd(int a,int b){
     if(a<b){//arrange so that a>b
         int temp = a;
           a = b;
           b=temp;
     }
     if(0==b)//the base case
        return a;
     if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even
         return 2*gcd(a/2,b/2);
     if ( a%2 == 0)// only a is even
         return gcd(a/2,b);
     if ( b%2==0 )// only b is even
         return gcd(a,b/2);
     return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);// a and b are odd
}

二，多個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)：(python實(shí)現(xiàn)：取出數(shù)組a中最小的，從2到最小的循環(huán)，找出其中最大的能被數(shù)組中所有數(shù)整除的那個(gè)數(shù)，就是最大公約數(shù))
def gcd(a):
    a.sort()
    min = a[0]
    result = 1
    for i in range(2, min+1):
        flag = True
        for j in a:
            if j % i != 0:
                flag = False
        if flag == True:
            result = i
    return result