在網(wǎng)上看到有人貼了如下求導(dǎo)公式：

Y = A * X --> DY/DX = A'
Y = X * A --> DY/DX = A
Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

于是把以前學(xué)過(guò)的矩陣求導(dǎo)部分整理一下：

1. 矩陣Y對(duì)標(biāo)量x求導(dǎo)：

   相當(dāng)于每個(gè)元素求導(dǎo)數(shù)后轉(zhuǎn)置一下，注意M×N矩陣求導(dǎo)后變成N×M了

   Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]

2. 標(biāo)量y對(duì)列向量X求導(dǎo)：

   注意與上面不同，這次括號(hào)內(nèi)是求偏導(dǎo)，不轉(zhuǎn)置，對(duì)N×1向量求導(dǎo)后還是N×1向量

   y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

3. 行向量Y'對(duì)列向量X求導(dǎo)：

   注意1×M向量對(duì)N×1向量求導(dǎo)后是N×M矩陣。

   將Y的每一列對(duì)X求偏導(dǎo)，將各列構(gòu)成一個(gè)矩陣。

   重要結(jié)論：

   dX'/dX = I

   d(AX)'/dX = A'

4. 列向量Y對(duì)行向量X’求導(dǎo)：

   轉(zhuǎn)化為行向量Y’對(duì)列向量X的導(dǎo)數(shù)，然后轉(zhuǎn)置。

   注意M×1向量對(duì)1×N向量求導(dǎo)結(jié)果為M×N矩陣。

   dY/dX' = (dY'/dX)'

5. 向量積對(duì)列向量X求導(dǎo)運(yùn)算法則：

   注意與標(biāo)量求導(dǎo)有點(diǎn)不同。

   d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

   d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

   重要結(jié)論：

   d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

   d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

   d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

6. 矩陣Y對(duì)列向量X求導(dǎo)：

   將Y對(duì)X的每一個(gè)分量求偏導(dǎo)，構(gòu)成一個(gè)超向量。

   注意該向量的每一個(gè)元素都是一個(gè)矩陣。

7. 矩陣積對(duì)列向量求導(dǎo)法則：

   d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

   d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

   重要結(jié)論：

   d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

8. 標(biāo)量y對(duì)矩陣X的導(dǎo)數(shù)：

   類(lèi)似標(biāo)量y對(duì)列向量X的導(dǎo)數(shù)，

   把y對(duì)每個(gè)X的元素求偏導(dǎo)，不用轉(zhuǎn)置。

   dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

   重要結(jié)論：

   y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'

   y = U'X'XU 則 dy/dX = 2XUU'

   y = (XU-V)'(XU-V) 則 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'

9. 矩陣Y對(duì)矩陣X的導(dǎo)數(shù)：

   將Y的每個(gè)元素對(duì)X求導(dǎo)，然后排在一起形成超級(jí)矩陣。