從最一般的定義上說，一個求最小值的問題就是一個優(yōu)化問題（也叫尋優(yōu)問題，更文縐縐的叫法是規(guī)劃——Programming），它同樣由兩部分組成，目標函數(shù)和約束條件，可以用下面的式子表示：

（式1）

約束條件用函數(shù)c來表示，就是constrain的意思啦。你可以看出一共有p+q個約束條件，其中p個是不等式約束，q個等式約束。

關(guān)于這個式子可以這樣來理解：式中的x是自變量，但不限定它的維數(shù)必須為1（視乎你解決的問題空間維數(shù)，對我們的文本分類來說，那可是成千上萬啊）。要求f(x)在哪一點上取得最小值（反倒不太關(guān)心這個最小值到底是多少，關(guān)鍵是哪一點），但不是在整個空間里找，而是在約束條件所劃定的一個有限的空間里找，這個有限的空間就是優(yōu)化理論里所說的可行域。注意可行域中的每一個點都要求滿足所有p+q個條件，而不是滿足其中一條或幾條就可以（切記，要滿足每個約束），同時可行域邊界上的點有一個額外好的特性，它們可以使不等式約束取得等號！而邊界內(nèi)的點不行。

關(guān)于可行域還有個概念不得不提，那就是凸集，凸集是指有這么一個點的集合，其中任取兩個點連一條直線，這條線上的點仍然在這個集合內(nèi)部，因此說“凸”是很形象的（一個反例是，二維平面上，一個月牙形的區(qū)域就不是凸集，你隨便就可以找到兩個點違反了剛才的規(guī)定）。

回頭再來看我們線性分類器問題的描述，可以看出更多的東西。

（式2）

在這個問題中，自變量就是w，而目標函數(shù)是w的二次函數(shù)，所有的約束條件都是w的線性函數(shù)（哎，千萬不要把x_i當成變量，它代表樣本，是已知的），這種規(guī)劃問題有個很有名氣的稱呼——二次規(guī)劃（Quadratic Programming，QP），而且可以更進一步的說，由于它的可行域是一個凸集，因此它是一個凸二次規(guī)劃。

一下子提了這么多術(shù)語，實在不是為了讓大家以后能向別人炫耀學識的淵博，這其實是我們繼續(xù)下去的一個重要前提，因為在動手求一個問題的解之前（好吧，我承認，是動計算機求……），我們必須先問自己：這個問題是不是有解？如果有解，是否能找到？

對于一般意義上的規(guī)劃問題，兩個問題的答案都是不一定，但凸二次規(guī)劃讓人喜歡的地方就在于，它有解（教科書里面為了嚴謹，常常加限定成分，說它有全局最優(yōu)解，由于我們想找的本來就是全局最優(yōu)的解，所以不加也罷），而且可以找到！（當然，依據(jù)你使用的算法不同，找到這個解的速度，行話叫收斂速度，會有所不同）

對比（式2）和（式1）還可以發(fā)現(xiàn)，我們的線性分類器問題只有不等式約束，因此形式上看似乎比一般意義上的規(guī)劃問題要簡單，但解起來卻并非如此。

因為我們實際上并不知道該怎么解一個帶約束的優(yōu)化問題。如果你仔細回憶一下高等數(shù)學的知識，會記得我們可以輕松的解一個不帶任何約束的優(yōu)化問題（實際上就是當年背得爛熟的函數(shù)求極值嘛，求導再找0點唄，誰不會啊？笑），我們甚至還會解一個只帶等式約束的優(yōu)化問題，也是背得爛熟的，求條件極值，記得么，通過添加拉格朗日乘子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，來把這個問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題云云（如果你一時沒想通，我提醒一下，構(gòu)造出的拉格朗日函數(shù)就是轉(zhuǎn)化之后的問題形式，它顯然沒有帶任何條件）。

讀者問：如果只帶等式約束的問題可以轉(zhuǎn)化為無約束的問題而得以求解，那么可不可以把帶不等式約束的問題向只帶等式約束的問題轉(zhuǎn)化一下而得以求解呢？

聰明，可以，實際上我們也正是這么做的。下一節(jié)就來說說如何做這個轉(zhuǎn)化，一旦轉(zhuǎn)化完成，求解對任何學過高等數(shù)學的人來說，都是小菜一碟啦。